毕达哥拉斯是一位与孔子、释迦牟尼几乎同时代的古希腊著名的数学家和哲学家。在中学的平面几何中，有一个定理叫“毕达哥拉斯定理”，就是以他的名字命名的。
毕达哥拉斯出生于爱琴海东面的萨摩斯。他十分好学，不愿跟随父亲学习雕刻指环的手艺，而是一心想拜有学问的人为师。于是，他周游各地，曾拜在阿那克西曼德、费雷居德等哲学家的门下，学习了不少哲学和自然科学的知识。后来，听说老师的许多知识都是从东方的巴比伦和埃及学来的，就动身到巴比伦和埃及求学。他曾在埃及居住了近22年，从埃及神庙的祭司那里了解了古埃及的数学、天文、宗教等方面的知识。在40岁左右时，毕达哥拉斯就已成为很有学问的人了。为了把所学知识传授给家乡的人民，他又回到了萨摩斯。由于政治观点不同，只得又离开家乡，前往希腊的移民地意大利南部的克罗通定居。他的后半生就是在这里度过的。
为了能向人们传授知识，毕达哥拉斯开办了一个公众学校，到这里学习的曾达300多人。为便于组织学习，他把学生组成一个类似宗教团体富于神秘主义色彩的集团。例如。他制定了许多奇怪的戒律：不准用刀子拨火，不准坐在斗上，不准在大路上行走，房子里不准有燕子，不准养脚爪有钩的鸟等等。准备参加学习的人一开始不能和他见面，只能在门外听讲，听过一段时间后进行考试，及格的人才能与老师见面，成为正式的学生。毕达哥拉斯是这个团体的最高首领，主持他们的学习和生活。
毕达哥拉斯学派提出一著名的观点：“一切都是数。”哲学的任务就是要发现世界的本原，而作为世界的本原应当是构成一切事物而又为一切事物所共同具有的东西，而数正是这种东西。因为不论什么事物，大到天体，小到尘埃，都有一定的长短、高低、大小、轻重等数量，没有数量的事物是不存在的。
数既然是世界的本原，那么，它如何构成世界上的事物呢？毕达哥拉斯派解释说，作为世界本原的“数”是一种单位，它占有一定的空间，是有形的。数的开端是“1”，“1”就是一个小点（•）。虽说这种点非常小，但却是存在着的，正如阳光透进房间时我们看见的无数纤尘是存在的一样。“2”这个数是两点的排列，即成为一条线（—）。同样，“3”这个数是面（△），而“4”这个数就是体了（立体□）。数的排列到了“4”，就出现了有形体的事物。由这四个数就构成了土（立方体）、火（四面体）、气（八面体）、水（二十四面体）四大基本要素，这四种要素的不同排列组合就构成了世界上形形色色的具体事物。可见，一切事物都由数构成。数不仅构成了一切事物，而且，作为一种量，它也存在于所有的事物之中。任何事物之间都存在着一定的数量比例关系，正因为这种数量比例关系，世界才表现出其秩序和规律。不同的数量形成一定的比例，一定的比例就是事物之间的和谐。他们在研究音乐乐理的谐音时发现，产生各种谐音的弦的长度都成整数比（分数）。例如，两根绷得同样紧的弦，当它们的长度比为2:1时，就会产生相差八度的谐音，而当它们的长度比为3:2时，短弦发出的音比长弦发出的音要高五度。而如果三根绷得同样紧的弦，当它们的长度比为3:4:6时，就能得到和声的谐音。如果把“中音1”的弦长定为1，音阶与弦长就有如下妙不可言的分数关系：
音阶 1 2 3 4 5 6 7 i
弦长 （关系图无）
另外，他们还对正方形的面积进行了研究，所得结果令他们更加兴奋。
因为设一个正方形边长为a，那么，边长为2a、3a、4a、na(n为自然数)的正方形同a为边长的正方形面积之比分别为4:1、9:1、16:1、n^2:1；同时，在研究同名正多边形覆盖平面问题时，他们发现，这种覆盖只有如下三种情况（无图），即六个正三角形、四个正四边形和三个正六边形。在这三个图形中，其边数比为3:4:6，而其正多边形的个数之比则恰好相反，为6:4:3。
总之，一切事物都必须而且只能通过数得到解释，宇宙的本质和规律就是数的和谐，也就是说，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。
毕达哥拉斯学派首创西方沿用的“宇宙”（os），它的本义就是一个和谐而有规律的整体。公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的菲罗洛斯在谈到这个问题时说：“如果没有数和数的性质，世界上任何事物以及与其他事物的关系都不能为人们所清楚地了解你不仅可以在鬼神的事务上，而且可以在人间的一切行动、思想，以至一切行业和音乐中看到这种数的力量。”
由于认为世界的本质就是数的严整性与和谐性，所以，毕达哥拉斯派非常重视数学的研究。他们基本建立了所有直线形的理论，包括三角形全等的定理，平行线理论、相似理论、三角形的内角和定理等等。三角形的内角和定理是说，一个三角形的内角和等于两直角。这是中学平面几何中非常重要的定理。他们还发现了有名的“毕达哥拉斯三数”，即可以排成直角三角形三条边的整数组，他们除了给出具体的特例外，还给出了一般法则（无图）。他们在数学上就是证明了关于直角三角形斜边与两直角边关系的定理，即著名的“毕达哥拉斯定理”（即“勾股定理”）：直角三角形斜边的平方等于两直角边平方之和。在当时，中国人、巴比伦人、埃及人和印度人早已了解到此定理的部分情况，但都没有给出一般的证明。因此，毕达哥拉斯和他的门徒在给出这条定理的证明后欣喜若狂，后来主张简朴节俭的师徒们也破例举行隆重、热烈的庆贺。据说，他们宰了100头牛举办了盛大的“百牛宴”，以至有人议论说，人们喜悦，牛却遭了殃。
然而，正当兴致未尽之时，他们的狂热却被一个人狠狠地泼了一盆冷水，这就是入会不久的希帕索斯。希帕索斯是个勤奋好学的青年，他善于独立思考，不盲目附合。他学了勾股定理以后，在研究正方形的对角线时发现，这条对角线（亦即等腰直角三角形的斜边）既不能用整数表示，也不能用整数之比（分数）表示。因为，如果能用整数或整数之比表示，则必然带来不可克服的矛盾。证明如下：
设等腰直角三角形的两直角边为a，斜边的长度为约去公因数的两整数m、n之比m/n。
因为m、n约去了公因数，则二者之中至少有一奇数（都是偶数则有公因数2）。
据毕达哥拉斯定理，a^2+a^2=(m/n)^2，即2a^2=(m/n)^2，而m^2=2a^2n^2。
∵2a^2n^2为偶数，则m^2为偶数，
∴m必为偶数〔m不可能为奇数，因为任一奇数2n＋1的平方（2n＋1）^2＝4（n^2＋n）＋1必是奇数〕。
又∵m，n中至少有一奇数，
∴n必是奇数。
m既是偶数，设m＝2p，于是，m^2＝4p^2＝2a^2n^2，
∴n^2=2p^2/a^2
∴n^2＝2(p/a)^2
n^2为偶数，而n也必是偶数。
综上可知，假如他们的信念是正确的，那么，同一数n既是奇数又是偶数。说它是奇数，它又是偶数，而说它是偶数，那么，它又是奇数。但是，一个数要么是奇数，要么是偶数，不能既是奇数又是偶数。因此，以上的循环必然是一矛盾，人们把这种循环称为“希帕索斯悖论”。
在一推导中得出明显错误的结论，无非有两种情况：一种是前提错误，一种是推导过程不正确。以上的推导中使用了两个前提：一个是毕达哥拉斯派“一切现象可归结为整数或整数之比”的信念，另一个就是毕达哥拉斯定理，但由二者推出了矛盾。显然，推导过程毫无差错，因此，问题只能出在前提上。毕达哥拉斯定理是已证明为正确的定律，这样，他们的信念就是不成立的。因此，希帕索斯悖论的发现就如同一声晴天霹雳，动摇了毕达哥拉斯学派整个信念大厦的基础，引起其他毕氏门徒的极大恐慌。他们决定立即封锁消息。可是如何能封锁得住？一传十，十传百早就传开了。这使得他们非常恼火，决定捉拿泄露天机的希帕索斯。希帕索斯并不屈服，于是逃离了这个学会。一些激进的门徒紧追不舍，结果在地中海的一条船上抓住了希帕索斯，并把他扔到了海里。
“青山遮不住，毕竟东流去。”希帕索斯可以抛到大海里淹死，但希帕索斯悖论是淹不死的。等腰直角三角形斜边的问题是人类社会生活中客观存在的问题，人们需要解决它来完成生产建设中某一环节的计算。因此，社会生活会从实际需要中促使希帕索斯悖论的发现。另外，根据毕达哥拉斯定理，可以看出，直角三角形的三条边并不一定就是整数，这使得毕达哥拉斯学派的信念中必然导致矛盾。作为直角三角形特殊情形的等腰直角三角形必然会成为研究者的课题，即使没有希帕索斯，也会有另外一个人看到这一悖论，只不过是时间早晚而已。人们很快发现，不能用整数或整数之比表示的数并非罕见的现象，如3、π、32等。随着时间的推移，无理数的存在逐渐成为路人皆知的事实，这些事实像潮水一样猛烈地冲击着传统观念，促使人们重新审视一切数都是整数或整数比的有理数理论，这就是历史上的第一次数学危机。
严格说来，这种危机并不是数学本身的危机，而是毕达哥拉斯学派“万物皆数”（整数或整数之比）信念的危机。本来，整数或整数之比确实是宇宙中普遍存在的现象，但他们把这种现象夸大并神秘化了。例如，当他们发现l、2、3、4能构成谐和的乐音时，就把l、2、3、4之和的10看作神圣而完美的数目，并把这一图形（由10个点构成的完美整体）也看作神奇而玄妙的图形，以至于认为天体也应该达到10这个数目。他们认为，人与人的关系也与数有直接联系。他们把理性看作1，意见看作2，正义看作4，婚姻看作5，爱情看作8。由于他们把违反客观规律的这种信念当作绝对真理，因此，必然会造成悖论，而危机也必然会接踵而至。
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