阿基里斯是《荷马史诗》中的一个善跑健将，而乌龟是人们公认的跑得最慢的动物。起跑时让乌龟领先10米，发令之后，阿基里斯如离弦之箭向前冲去，而乌龟不论多急也只能慢吞吞地向前爬。大家肯定认为阿基里斯只需一眨眼的工夫就会追上并超过乌龟，但古希腊埃利亚学派的芝诺却指出，跑得最快的并不能跑过最慢的，阿基里斯永远追不上乌龟。这是著名的“芝诺悖论”之一。

    芝诺提出此悖论的目的是为了否认运动的真实性。据说，后来古希腊犬儒学派的第欧根尼曾用十分简单的方法——行动进行反驳。他一语不发地站起来，在房间里走来走去，然后，询问学生这种反驳如何。其中一个学生很高兴，对反驳感到非常满意。第欧根尼上去就踹了他一脚，然后把他狠狠地训斥了一顿。这是因为芝诺并不否认这种感性的运动，而是在理性上用理由进行证明运动并不真正存在，因此，对方只有用理由进行反驳才有效。

    芝诺的论证是这样的：

    假设阿基里斯和乌龟的速度都保持不变，而阿基里斯的速度是乌龟的10倍，那么，当阿基里斯跑到第10米——乌龟起跑的地方时，乌龟已爬到第11米的地方去了，乌龟领先1米。于是，阿基里斯又奋勇向前。当他跑到第11米的时候，乌龟却已爬到11.1米的地去了，它还领先0.1米。而当阿基里斯跑完这0.1米的路程时，乌龟又向前爬了0.01米，如此不停地跑下去。阿基里斯要跑完10米、0.1米、0.01米的距离，而乌龟则依次领先1米、0.1米、0.01米显然，这些距离有无限多个，跑完一个又一个，永远也跑不完，乌龟始终领先一段距离。因此，阿基里斯只能无限地接近乌龟，而永远追不上、更不能超过乌龟。

    由于在常识看来，阿基里斯能追上并超过乌龟，芝诺的上述论证在当时被认为最难以驳倒的，而所得结论却明显与直觉矛盾，因此，人们称之为“阿基里斯悖论”。

    这种论证正确吗？从哲学上讲，这显然是一种诡辩。表达运动的概念有两个，即间断性（或点截性）与不间断性（或连续性），是不间断性与间断性的统一。芝诺的错误在于，他不懂得运动本身是二者的统一，而形而上学地割裂两者，只承认间断性而不承认不间断性。他把运动假定为在空间可无限分割的点，而把物体（阿基里斯）局限于点上，把运动看作这些静止状态的点的总和。他不懂得运动的物体到达这个点的同时就要离开这一点，因此，运动的物体不可能达不到目的而停留在无限可分的点上，阿基里斯会很快赶上并超过乌龟。

    另外，芝诺没有看到，那些距离虽然有无限多个，可是，它们的和却是一个有限的、确定的距离。相应地，阿基里斯所用时间间隔虽然有无限多个，但它们的和也是确定的、有限的一段时间。

    按已知条件，设阿基里斯跑完第一段路程所需时间为1分钟，则第二、三段所需时间为1/100分钟、1/1000分钟，则阿基里斯追上乌龟所有需时间t为10/9分钟。（无计算过程图）

    芝诺悖论在当时并不受重视，但它在数学上的价值直到后世才为人们所发现，它说明“无穷大”、“无穷小”等概念逐渐出现在数学研究的项目中，这也是极限理论的萌芽。

    在近代，随着科学技术的发展及社会实践的需要，这些概念又重新引起人们的注意，微积分理论就是主要建立在无穷小量分析之上的。但无穷小量分析后来被证明是包含矛盾的。

    无穷小量分析的特点在于“无穷小量”的自由应用。例如，15世纪的尼古拉斯就曾用这种方法求出了圆的面积公式。他首先通过无穷分割得出了无穷小三角形OAB（无图）。由于AB为无穷小量，因此，无穷小三角形就既被看作一直边三角形，同时又被看成曲边三角形。作为直边三角形，它的面积为1/2LR（其中L为AB的长，R为圆的半径和三角形的高），而由于它又是曲边三角形，它的无穷累积就是圆。因而，圆的面积S：

    S=1/2（L1R＋L2R＋…＋LnR）=1/2R（L1＋L2＋…＋Ln）＝1/2R（2πR）=πR^2

    （L1＋L2＋…＋Ln为圆的周长）。

    又如，费尔玛也曾用无穷小量分析解决过求非匀速运动物体的速度问题。他的方法是这样的：（l）截取一时间间隔△t，并求出这一时间间隔物体所通过的距离△s；（2）求出△s，显然，这是物体在此时间间隔内的平均速度；（3）令△t=0，这时，我们所截取的时间间隔就是无穷小量dt，因此，这时所获取的速度就是物体在这一时刻的瞬时速度。

    由于微积分理论的研究对象是非均匀变化（如非匀速运动、曲线形），因此，这里的主要问题就是如何把非均匀变化转化为已解决的均匀变化来研究，即“变非匀速运动为匀速运动”，“化曲为直”。而无穷小量由于其本身的特性恰好为这种转化实现提供了条件。因此，无穷小量分析在严格的极限理论建立以前一直是微积分理论中的主要方法。

    但是，作为其基础的无穷小量分析却包含有逻辑矛盾。具体而言就是：在无穷小量的实际应用中，它必须既是0又不是0；但从形式逻辑的角度来看，这无疑是违反不矛盾律的。例如，就圆的求面积而言，如果认定无穷小量AB为0，那么，无穷小三角形OAB就根本无面积可言（这时根本不存在三角形）；而如果认定AB不为0，那么，无穷小三角形仍然是曲边三角形，从而，也就不能用计算直角三角形的方法来计算它的面积。又如，就非匀速运动的问题而言，如果认定无穷小量dt为0，那么，ds就是O，而按数学的传统法则，这是无意义的。事实上，这时也没有任何运动发生。而如果不把dt看作0，那么，所求出的ds就仍然是一段时间内的平均速度，而不是瞬时速度。由于无穷小量分析中包含有这样的矛盾，而牛顿、莱布尼兹在建立微积分时也没有在理论上解决这个问题，这就使得无穷小量必然会首当其冲地成为不少人攻击的对象。在反对无穷小量分析的人士中，最激烈的要算爱尔兰克罗因地区的主教乔治•贝克莱。他认为，无穷小量只是一些数学家臆想的产物，是抽象的、虚无缥缈的主观猜测。他把无穷小量讽刺为“逝去了的量的幽灵”贝克莱的目的虽然是企图否定无穷小量，但通过这种指责可以看出，他在此问题上的确是个“行家”，他确实有效地揭示了无穷小量分析中所包含的逻辑矛盾。由于当时人们确信建立在无穷小量分析之上的微积分理论的正确性，因而，由此引起的矛盾就被认为是悖论，世称“贝克莱悖论”。

    由于贝克莱的攻击切中了要害，因此，贝克莱悖论的发现动摇了数学的基础，在当时的数学界引起了一定的混乱，人们把它称之为“第二次数学危机”。

    实际上，这并不是整个数学的危机，而是无穷小量分析方法的危机。第二次数学危机后，一些数学家致力于解决这一矛盾。通过近半个世纪的努力，人们发展了极限理论，从而为微积分理论建立了可靠的基础，克服了危机，解决了悖论。

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