什么样的数算大数呢？当然，这是一个相对的问题。有这样一个故事：两个贵族想做数数的游戏——谁说出的数字大谁赢。“好，”一个贵族说，“你先说吧！”另一个绞尽脑汁想了好几分钟，最后说出了他所想到的最大数字：“3。”现在该轮到第一个动脑筋了。苦思冥想了一刻钟以后，他无可奈何地说：“你赢啦！”
两个贵族的智商显然是非常的低，这很可能只是一个挖苦贵族们的故事。但是，如果是发生在原始部落中，这故事大概就完全可信了。现已证实，在某些原始部落中，没有比3大的数词。如果问他们有几个儿子或杀死过多少猎物，那么，要是这个数字大于3，他就会回答说：“很多个。”看来，他们的计数水平还不如一些幼儿园的娃娃呢！
有时候，看似不大的数却出乎意料的大，古印度的舍汉王就曾经吃过亏。据传说，舍汉王打算重赏国际象棋的发明和进贡者、宰相达希尔。这位聪明大臣的要求看来并不高，他跪在国王面前说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格内放1粒麦子，第2个小格内放2粒，第3格内放4粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍。陛下把这样摆满棋盘上的所有64格的麦粒都赏给您的仆人就行啦！”
“你所求的并不多啊。”国王说道，心里为自己对这种奇妙的发明不用花费太多而暗喜，“你会如愿以偿的。”说着，他令人把一袋麦子拿到宝座前。
计数麦粒的工作开始了，第1格内放1粒，第2格内放2粒，第三格放4粒还没放到第20格，袋子已经空了。一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来。但是，麦粒数一格一格增长得如此迅速，很快就可看出，即使拿来全印度的粮食也兑现不了国王的诺言，因为这需要18,446,744,073,709,551,615颗麦粒。1升麦子约137,560颗，照此计算，那就要给达希1136亿升。这位宰相要求的竟是全世界在2年内生产的全部小麦！
这样，舍汉王发现自己欠了达希尔好大一笔债，要么忍受他没完没了的讨债，要么砍掉他的脑袋，当然，舍汉王选择了后者。
达希尔所要求的麦子粒数虽然大得令人难以置信，但毕竟是有限的，就是说，只要有足够的时间，人们总能把它从头到尾写出来。然而，还有一些比我们所能写出的无论多长的数还要大的数，即无穷大的数，如“所有自然数（正整数）的个数”、“一条线上所有几何点的个数”。这些数是随着数学的发展必然被人们发现的。第一次数学危机促使严格的实数（包括有理数和无理数）理论的建立，第二次数学危机则使极限理论成为微积分的主要工具。极限理论也是以实数理论为基础的，而实数的数目就是无穷的。对于无穷大的数，除了说它们无穷大之外还能说些什么呢？这些数能否进行比较？“所有有理自然数的个数和一条线上所有几何点的个数哪一个大些？”这一问题乍一看真是不可思议，但著名的数学家康托尔首先思考了这一问题，并指出二者是不一样大的。然而，我们又会面临这样一个问题：这些既不能读出来，也无法写出来，该怎样进行比较呢？这下我们有点儿像一个既不清楚自己的汽车有多少座位，又不了解有多少个乘客，但却想知道座位够不够坐的司机了。既然他什么也不清楚，他会不会放弃原来的打算呢？根本不会。如果他足够聪明（而且通常的办法也是如此），他就会通过把座位和乘客逐个相比的办法来得出答案。他让第一位乘客坐在第一个座位上，第二位乘客坐在第二个座位上……这样一直相比下去。如果最后座位用光了，还剩下些乘客，他就知道乘客多于座位；如果乘客都坐下了，座位还有多余，他就会明白座位多于乘客；如果乘客都坐下了，座位也正好用完，他就会晓得，乘客和座位数目相等。
康托尔所提出的比较两个无穷大数的方法与此是相同的，即给两组无穷大数列中的每一个数一一配对，如果这两组最后一个都不剩，这两组无穷大就是相等的；如果有一组还有些没有配完，这一组就比另一组大些。这种方法显然是合理且实际上也是唯一可行的方法。但是，当把这种方法实际应用时你却会大吃一惊。举例来说，所有偶数与所有奇数这两个无穷大数列，我们都会直觉到它们的数目相等，应用上述方法也完全符合，因为这两组数可建立一一对应关系：
1 3 5 7 9 11 13
2 4 6 8 10 12 14
这里，这种对应是非常自然的。现在请读者思考一下：所有整数的数目与所有偶数的数目哪一个更多？当然，你会说前者多一些，因为所有的整数不仅包括所有的偶数，而且也包括所有的奇数。然而，这只是人们的直觉。
如果应用上述方法，你会吃惊地发现，这种直觉是错误的，从下面的对应表就可看出：
1 2 3 4 5 6
2 4 6 8 10 12
根据上述比较无穷大数的原则，偶数的数目与整数的数目是同样多的。
当然，这个结论看起来是非常荒谬的，因为偶数只是整数的一部分，这与整体大于部分的直觉显然矛盾。由于这种矛盾首先是伽利略发现的，故称“伽利略悖论”。康托尔认为，伽利略悖论并非什么“悖论”。任何两组东西，只要能相互一一对应，就是一样多。“整体大于部分”这条规律只有在有穷的情况下正确。在无穷大的世界里，部分可能等于全体！这就是无穷的本质。
对于有穷和无穷的特点，著名数学家希尔伯特的一则小故事给予了最好的说明：
某旅游胜地有一家旅馆，内设有穷个房间。由于是旅游旺季，所以，所有的房间都已客满。这时，来了位客人想订个房间。“对不起，”店主说，“所有房间都住满了”。客人无可奈何地来到另一家旅馆。这家旅馆与别的旅馆并无多大不同，只是房间数不是有穷而是无穷多个，号码为1、2、3这位客人到来时，所有房间也已住满，但他疲惫已极，坚持要住下。旅馆老板只得耐心劝说：“满了就是满了，非常对不起！”正好这时候，聪明的老板的女儿来了。她看见客人和她爸爸都很着急，就说：“这不成问题！请每位房客都搬一下，从这房间搬到下一间。”于是，1号房间的客人搬到2号，2号房间的客人搬到3号依次类推。最后，这位客人住进了已被腾空的1号房间。第二天，又来了一个有无穷多位旅客的庞大旅游团要住旅馆，这下又把老板难住了。老板的女儿又出来解围：“这好办，您让1号房客搬到2号，2号房客搬到4号，3号房客搬到6号这样，l号、3号、5号等单号房间就都空出来了，新来的无穷多位客人就可以住进去了。”
来多少客人都难不倒聪明的老板女儿，于是，这家旅馆越来越繁荣。后来，老板的女儿考入了大学数学系。有一天，康托尔教授来上课，听说此事后问她一个问题：“你能不能给1寸长线段上的每一点安排一个房间？”
她绞尽脑汁，想要安排一下，但终于失败了。康托尔教授告诉她，1寸长线段上点的数目和自然数的数目尽管都是无穷的，但却不是一样大的无穷。线段上的点要比自然数的个数多得多，任何想安排下的方案都是行不通的。为了证明，我们给它们建立一一对应关系。
线段上每一点可用这一点到这条线的一端的距离来表示，而这个距离可写成小数形式：
点l 0.a11a12a13a14…
点2 0.a21a22a23a24…
点3 0.a31a32a33a34…
……
点K 0.ak1ak2ak3ak4…
现在我们可认选一个实数b=0.b1b2b3…，其中bk≠akk，同样，b1≠a11，b12≠a22。
显然，b不等于上述任何数，因为至少第k位bk≠akk。这样，线上的点与自然数之间的一一对应就建立不起来，线上的点数所构成的无穷大数大于自然数所构成的无穷大数。
可以证明且令人惊异的是，无论线段是1寸长，1尺长还是和赤道一样长，上面的点数都是相同的。而且，平面、立方体上所有的点数与线段上所有的点数也是相等的。这种无穷是比自然数、分数的数目更高一级的无穷。同样可以证明，所有几何曲线的数目是第三级的无穷。到目前为止，还没有人想象得出更大的无穷大数。这三级无穷大数就足以包括我们想到的所有无穷大数了。看来，在无穷的世界里，我们有点像开头所讲的那两个贵族了！
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