“一个幽灵，共产主义的幽灵，在欧洲徘徊。”这是《共产党宣言》的开场白。这幽灵震撼了整个旧的世界，一切旧的势力为驱逐它而结成了同盟，而新的势力则在其鼓舞下开创了一个崭新的世界。在2000多年来的人的思维发展史中，也有一个幽灵不断缠绕着人们，这就是引起众多哲人的注意，并使许多人为之倾其毕生心血的难题——悖论。
“悖论”的“悖”字，据《辞源》解：“‘悖’，背理也，乱也，逆也，惑也。”故“悖论”也称作“逆论”、“反论”。这个词的意义很丰富，它包括一切与人的直觉或日常经验相抵触的理论、观点或论断。悖论主要有以下几种表现形式：（l）一种论断看似谬误，但实际上却是对的（佯谬）；（2）一种论断看似正确，但实际上却是错的（似是而非的理论）；（3）某一理论体系中，从某些看似正确的公理出发，根据一系列的无懈可击的推理，却导致逻辑上的自相矛盾或矛盾循环。在逻辑和数学中，人们所说的“悖论”，主要指第三种形式，即自我矛盾的循环。最古老的悖论要算“说谎者悖论”了。
据传说，公元前6世纪，古希腊的克里特岛上住着一个叫埃皮门尼德的人。幼年时他与一些小朋友到山中玩耍，偶然误入一个山洞，在洞中迷迷糊糊地睡着了。但这一觉他竟然睡了57年，待他醒来时，已过了“耳顺之年”。他发现自己已成了一个学者，熟谙哲学和医学，成为岛上的“先知”。据《圣经》记载，作为克里特岛上“先知”的埃皮门尼德曾轻蔑地说过这样一句话：“克里特岛人都是说谎者。”
如何理解这句话呢？如果这句话是真的，即克里特岛人真的都是说谎者，而既然埃皮门尼德也是克里特岛人的一员。那么，他也是个说谎者。假如“说谎者”的含义是指不说一句真话的人，则显然可得出，这句话是谎话，即是假的，这显然是个矛盾。但是，这并不能使埃皮门尼德陷入困境，因为可以设定此话为谎话，但要具备一个条件，即克里特岛上其他任何人或埃皮门尼德本人除此之外还说过真话，而说过真话的人就不算作“说谎者”。这样，埃皮门尼德的这句话就成为谎话。但是，这种通过偶然的事实来解决悖论的方法，从逻辑上说是不能令人满意的。
在印度因明学（逻辑学）中也有与此类似的例子。因明学有一条立论的基本原则，就是不能“自语相违”。例如，“一切语皆妄（虚假）”就是自语相违。有一个叫神泰的因明家评论道：
说“一切语皆妄”的人，你口中的这句话是否真实呢？假如说是真的，那么，为什么说“一切语皆妄”呢？如果说你这句话是虚假（妄）的，那么，应该承认一切语皆实。即使你补充一句，说“除我所语，其余一切语皆妄”，也于事无补。因为有个第二者听了你这句补救的话后，指出：“你这句补充的话是实话。”那么，第二者的话是实，还是妄？如果第二者的话是妄，那说明你补充的话虚假；如果第二者的话为实，那你又有何理由说“除我所语，其余一切语皆妄”呢？
假定你再补充一句：“除了我语及这个评论我的第二者的话真实以外，其余所语皆妄。”这时又会有第三人接着评论说：“这第二个人的话也是真实的。”那么，第三个人的话是实，还是妄？同理，如果设定为假，那么，第二个人及第一个人说的话就不对了；而如果第三个人的话是真的，又怎么能说除我及第二个人所语，其余皆妄呢？同样，第四人、第五人 依次类推，以至无穷。你说“一切语皆妄”为真，而“一切语皆妄”也是“一切语”的一句，因此又推出“一切语皆妄”为假。你看到推出矛盾，就作一补充，说除你所语之外，一切语皆妄，但这样就会出现无穷多个例外，因而，例外也就不成其为例外。
可以看出，神泰的这一连串推理，除了从“一切语皆妄”虚假推出“一切语皆实”不合逻辑之外，其余的推论都是正确的。从逻辑上讲，从“一切语皆妄”中，只能推出“有些语为实”。
我国古代的经典《墨经》中也曾对这种自相矛盾作过论述。《墨经》指出：“言尽悖。”意思是说，断定一切的命题会导致矛盾，如“任何东西我都不信。”
严格说来，上述这些论断并不是真正的悖论。因为尽管由假设其真可导致矛盾，但我们可据反证法证明其为假，而设定其假并不能推出矛盾。
公元前4世纪，古希腊麦加拉哲学派的欧布利德斯对上述“说谎者悖论”作了修正。据说，他最初表述的是：那个说自己说谎的克里特岛人说谎吗？这是一个悖论。后来，欧布利德斯又把“说谎者悖论”表述为：“我正在说的是谎话。”这才是真正严格的悖论。因为假如这句话是真话，即“我真的在说谎话”。但我说的只有这一句话，因此，“我正在说的这句话是谎话”必是谎话，即为假；假如这句话为假，即我并非正在说谎话，那么，说的必然是真话，因此，这句话为真。无论采取哪种假设，都无法自圆其说。说它真，则推出假，说它假，则又推出真。真→假→真……陷入无穷的循环当中。
古希腊哲学家还经常讲一个鳄鱼的故事：
一位母亲抱着心爱的孩子到河边洗衣服。一条鳄鱼偷偷地从旁边游近她，从她的怀抱中把孩子抢走。母亲非常痛苦，哭哭啼啼地央告鳄鱼把孩子还给她。
“好吧，我可以把孩子还给你，但有一个条件。”鳄鱼说。
“什么条件我都答应，只要你能还我孩子。”“是这样，你猜一猜我会不会吃掉你的孩子？如果你答对了，我就把孩子毫不伤害地还给你。答不对嘛，那我就把他吃掉了。”
母亲思索片刻回答说：“啊！你是要吃掉我的孩子的。”
“呣，我怎么办呢？如果我把孩子交还给你，你就说错了，我应该把他吃掉。”鳄鱼高兴起来，“好了，这样我就不把他还给你了。”
“可是，这样你必须把孩子还给我，因为如果你吃了我的孩子，我就说对了。你答应我说对了就把孩子还给我的。”
愚蠢的鳄鱼懵了，结果把孩子还给了母亲，母亲抱起孩子就跑掉了。“唉，要是她说我要还给她孩子，我可就美餐一顿了。”鳄鱼很遗憾地说道。仔细地琢磨一下这个著名的“鳄鱼悖论”，你会发现，这位母亲是多么聪明。她对鳄鱼说：“你要吃掉我的孩子。”这样，无论鳄鱼怎么做都会与其允诺相矛盾。如果把孩子还给母亲，她的话就是错的，那么，就应把孩子吃掉，即不还给母亲；而如果不还给母亲，母亲的话就是对的，那么，就应该还给母亲。还给→不还给→还给→不还给，鳄鱼陷入了无穷的循环中，无法从中摆脱出来而不违背自己的允诺。如果不是这样，假如母亲换个说法：“你要把孩子还给我。”那么，鳄鱼就不用感到困惑了。它既可以交回孩子，也可以把他吃掉。如果它交回孩子，母亲的话就说对了，鳄鱼遵循了自己的诺言；如果它聪明的话，也可把孩子吃掉，这时，母亲的话是错的，鳄鱼也遵循了自己的诺言。
对于这种无限循环的悖论，美国人霍夫斯塔特给了它一个生动的名字：“一步即成的怪圈。”当代杰出画家埃舍尔曾用版画形象地说明了这种怪圈。图1的名字叫《瀑布》。在图中，一条瀑布倾泻而下，水花四起，还推动了水轮。汇集到一个大池子中的水顺着水渠哗哗地向下流去，一级一级下降。突然，水又流回到瀑布口！真是不可思议！可是在画面上却表现得明明白白，天衣无缝。图2的名字叫《上升与下降》。在冰冷阴森的教堂顶上，僧侣们排成两队向前走。其中一队总是沿着楼梯向上走，另一队总是往下走。可令人不解的是，他们走的却是同样的楼梯，并且不断地回到原来的出发点。
古代的一些人认为，这种怪圈“纯系文字游戏”，于是只把它们当做茶后饭余的笑料而已。然而，在历史发展的每一阶段中，这种怪圈总像幽灵一样神秘地出现在人们的思维中，令众多哲人为之烦恼。说它神秘，是因为至今没有能使大家信服的解释，也没有一种公认为完善的驱除它的方法。任何严谨的逻辑学家都会认识到这种怪圈所带来问题的严重性，因为在怪圈面前，形式逻辑的最基本规律同一律、不矛盾律、排中律完全失效。形式逻辑规定：一命题要么真，要么假，不能既真又假，也不能不真不假。但对怪圈而言，一说它真，即可推知假，说它假，则又可推出真，真假无限循环。因此，著名数学家哥德尔说，这个问题不解决，形式逻辑就会破产，整个人类思维的大厦就会崩溃！
在历史上也有一些哲学家、逻辑学家和数学家试图对悖论进行解释。古代圣哲亚里士多德在其《论辩篇》和《形而上学》中解释过说谎者悻论，古希腊斯多葛哲学派的代表克里西波斯为解释说谎者悖论写了六部书。希腊诗人柯斯的裴勒塔潜心研究悖论，把身体搞得十分瘦弱。据说他的鞋中常带着铅，以免被大风吹跑，最后竟因操劳过度，一命呜呼，这可说是悖论的第一个“殉道者”了。中世纪的哲人们把悖论称为“不可解命题”，并对此进行了更加深入的研究。他们在说谎者悖论的基础上发现了一些新的悖论，并提出解决悖论的15种方法。集合论中悖论的出现，更引起人们对悖论的重视。人们又发现了理查德悖论、罗素悖论、格里灵悖论等一些著名的悖论，并提出了解决悖论的新方法。
悖论在历史上曾引起三次数学危机，导致了人们对思维层次的深入剖析，促使一些新学科的出现，因此，成为当代逻辑学家、数学家、语言学家和哲学家们共同的热门话题。
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